Fractais de Mandelbrot

Fractais são figuras geométricas em que cada ramo e semelhante como um todo. Isso significa que os padrões da figura inteira são repetidos em cada parte, só que numa escala de tamanho menor.

Existe uma área da matemática que se dedica ao estudo dos fractais, chamada geometria fractal. Os fractais formam figuras geométricas muito bonitas e geram padrões que podem ser utilizados em sistemas de criptografias - sistemas que codificam senhas. A utilização de fractais forma senhas mais seguras e mais difíceis de serem quebradas.

Um dos primeiros matemáticos a estudar os fractais foi o francês  Benoît Mandelbrot e os estudos nessa área avançaram muito com os recursos computacionais disponíveis hoje em dia. Esses recursos possibilitam ampliação das imagens para melhor visualização, além de identificar os padrões com que as imagens se reproduzem. Nos fractais gerados por métodos computacionais, cada pedacinho do fractal é exatamente uma cópia da imagem original e pode ser obtido a partir de uma equação específica, ambas são relativas aos conjuntos de Mandelbrot e são regadas a partir de computadores.

Os fractais estão ligados a áreas da física e da matemática chamadas Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos, porque suas equações são usadas para descrever fenômenos que, apesar de parecerem aleatórios, obedecem a certas regras – como o fluxo dos rios. Eles não são explicados pela geometria euclidiana (aquela que você aprende na escola), pois possuem dimensão fracionária. “Essa fração está relacionada com a quantidade e a escala de ampliação das cópias da figura contidas dentro dela mesma”, diz Colli. Outra característica é que possuem complexidade infinita.

A teoria na prática onde os pesquisadores têm encontrado os fractais:

Medicina

A estrutura do pulmão e as ramificações dos neurônios remetem a essas figuras. Entre outros benefícios, a compreensão do desenvolvimento dos fractais pode ajudar a prever a evolução de doenças como o câncer, facilitando diagnósticos precoces.

Arte

O inglês Phil Jackson lançou, em 1998, o álbum Organized Chaos, que transformava cálculos matemáticos em música fractal. E figuras psicodélicas como as desta matéria já viraram exposição, até no Museu da Imagem e do Som (MIS) de São Paulo.

Computação gráfica

Alguns tipos têm sido utilizados como base de animações digitais. Eles ajudam a criar texturas, simular vegetação ou construir paisagens complexas. Apollo 13 (1995) e Titanic (1997) são alguns filmes que aplicaram esse recurso.

Geografia

Os dobramentos das camadas de rocha que formam o solo são criados por dobramentos ainda menores, como um fractal. Ao se definir, por computador, esses padrões, pode-se estudar a instabilidade dos solos e prevenir catástrofes como a da região serrana do Rio de Janeiro.

Economia

O conceito de fractal é usado no entendimento do comportamento da Bolsa de Valores. A variação do valor da ação em um dia de pregão é similar à variação de uma semana, um mês, um ano ou uma década. Com isso, é possível fazer estatísticas mais precisas.